Hijo de Polibo; era uno de los pretendiente mas destacados de Penélope, la mujer de Ulises.
Insultó a Ulises, cuando éste disfrazado de mendigo entró en su palacio. Se burló del adivino Teoclimeno, cuando les predijo a los pretendientes el fin que los esperaba.
Finalmente en la prueba de tensar el arco, que propone Ulises, para que puedan comprobar su identidad, Eurimaco no logra tensarlo con gran vergüenza por su parte.
Muerto el primer pretendiente a manos de Ulises, Eurimaco, intenta reconciliarse con él, ofreciéndole oro, cobre, rebaños y riquezas, para poder salvar su vida.
Ulises en venganza le clava una flecha en el corazón , cuando Eurimaco, a traición, iba a caer sobre él, espada en mano.